Ο ιδιοφυής μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ απέδειξε ότι οι δυνατότητες που έχει η
ανθρώπινη νόηση είναι πεπερασμένη. Υπάρχει ένα όριο σε αυτά που μπορούμε να
αποδείξουμε ότι είναι λογικά και
εμπειρικά σωστά. Και το κυριότερο, αν μια πρόταση ή ένα πρόβλημα δεν
μπορούμε να το αποδείξουμε, αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι δεν υπάρχει λύση,
αλλά ότι, δεν έχουμε τις πνευματικές δυνατότητες να αποδείξουμε την Αλήθεια
μιας πρότασης.
Ο Γκέντελ, το 1930, σε
ηλικία μόλις 23 ετών απέδειξε στη μαθηματική λογική το λεγόμενο θεώρημα της μη πληρότητας - για την ακρίβεια,
απέδειξε δύο θεωρήματα μη πληρότητας που συνδέονται λογικά μεταξύ τους. Σύμφωνα με το θεώρημα του Γκέντελ, ισχύει
γενικά η ακόλουθη δήλωση : Σε κάθε τυπικό σύστημα επαρκές για τη θεωρία
αριθμών, υπάρχει ένας μη αποφασίσιμος μαθηματικός τύπος- δηλαδή, ένας τύπος που
δεν είναι αποδείξιμος και που η άρνηση του είναι επίσης μη αποδείξιμη. (Η
δήλωση αυτή αναφέρεται και ως πρώτο θεώρημα του Γκέντελ). Με άλλα λόγια το θεώρημα μη πληρότητας μας λέει πως όποια και αν είναι τα αξιώματα
που εξετάζουμε, είτε έχουν πεπερασμένο πλήθος είτε προκύπτουν με αναδρομικό
τρόπο, θα υπάρχουν πάντοτε ερωτήματα στα οποία δεν θα μπορούμε να απαντήσουμε,
που θα παραμένουν αναποκρίσιμα και για τα οποία θα λείπουν πάντοτε κάποιες
πληροφορίες. Στην πραγματικότητα, με
τη βαθύτερη σημασία του, το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ δείχνει ότι
δεν μπορούμε να αναγάγουμε τα μαθηματικά σε μια τυπική γλώσσα. Το θεώρημα του
Γκέντελ δείχνει ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατον. Όσο πολύπλοκο κι αν είναι ένα
τυπικό σύστημα, θα υπάρχει πάντοτε μια απόφανση, που θα αφορά τους θετικούς
ακέραιους αριθμούς, η οποία θα είναι ταυτόχρονα και αληθής και αναπόδειχτη στα
πλαίσια του τυπικού συστήματος.
Σύμφωνα, λοιπόν, με το Θεώρημα αυτό υπάρχουν άπειρες
προτάσεις (κρίσεις ή συλλογισμοί) για τις οποίες είναι αδύνατο να αποδειχθεί η
αλήθεια τους με βάση τις Αρχές που τέθηκαν και τις προηγούμενα αποδεδειγμένες
προτάσεις. Και σα να μην έφτανε αυτό, όταν βρισκόμαστε μπροστά σε μια πρόταση η
οποία επιμένει να μην αποδεικνύεται, δε μπορούμε να είμαστε σίγουροι για το αν,
η πρότασή μας αυτή, παραμένει αναπόδεικτη εξ αιτίας του ότι κανείς δεν έχει,
μέχρι του σημείου εκείνου, βρει μιαν απόδειξη ή γιατί, η εν λόγω πρόταση,
ανήκει σε αυτές που προβλέπει το Θεώρημα της Μη Πληρότητας!
Η
ΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Ας έρθουμε στην ουσία του
ερωτήματος που προκύπτει από τη μελέτη του θεωρήματος της ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ.
* Μπορεί, λοιπόν, ένα Φιλοσοφικό ή Θρησκευτικό Σύστημα
να θεωρεί τον εαυτόν του (δηλαδή αυτοί που το επινοήσανε) ως την Απόλυτη
Αλήθεια με την έννοια ότι, οι Αρχές του αποτελούν εκείνο το υλικό με βάση το
οποίο κάθε πρόβλημα να έχει τη λύση του;
Η απάντηση είναι ένα σκέτο όχι!
* Μπορούμε με τα «καθαρά» Μαθηματικά να προσεγγίσουμε
την Απόλυτη Αλήθεια;
Η απάντηση είναι και πάλι ένα σκέτο όχι!
* Υπάρχει «Απόλυτη Αλήθεια»;
Αν πάντως υπάρχει θα πρέπει να είναι ά-λογη!
Ο Αϊνστάιν με τη θεωρία της σχετικότητας έθεσε ένα όριο – την ταχύτητα του φωτός – στη ροή
κάθε σήματος που μεταφέρει πληροφορίες.
Ο Χάιζενμπεργκ με τη θεωρία της Απροσδιοριστίας (κβαντομηχανικής) έθεσε όριο στην ακρίβεια των μετρήσεων στο
μικρόκοσμο – δεν μπορούμε να μετρήσουμε ακριβώς τη θέση, την ενέργεια και την
ορμή των σωματιδίων όταν επιχειρούμε να τα παρατηρήσουμε.
Και ο Γκέντελ
με το θεώρημα της μη πληρότητας έδειξε ότι υπάρχει ένα όριο στη γνώση μας για το κάθε τι, γιατί πάντα θα απαιτούνται περισσότερα
στοιχεία που αναγκαστικά θα μας δίνονται μόνο απ’ έξω από το υπό μελέτη
σύστημα. Σύμφωνα λοιπόν με αυτό ποτέ δεν θα συλλάβουμε το σύνολο των
μαθηματικών αληθειών με μια πεπερασμένη ή αναδρομική λίστα καθαρά τυπικών
αξιωμάτων.
Το θεώρημα του Θεού
Λίγο πριν από τον θάνατό
του ο μεγάλος αυστριακός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) δημοσιοποίησε
μια μαθηματική απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού την οποία επεξεργαζόταν επί 30
χρόνια. Η απόδειξη αυτή βασίζεται στη σύγχρονη αξιωματική θεμελίωση των
Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αποτελεί συνέχεια της αρχαιοελληνικής
μαθηματικής παράδοσης και της Γεωμετρίας του Ευκλείδη. Σε αυτόν τον τρόπο
θεμελίωσης ξεκινάμε με τη διατύπωση αξιωμάτων, δηλαδή υποθέσεων που δεν
αποδεικνύονται αλλά φαίνονται προφανείς. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των
αξιωμάτων και της Μαθηματικής Λογικής, μπορούμε να αποδείξουμε θεωρήματα και να
οικοδομήσουμε μια ολόκληρη θεωρία. Για παράδειγμα, ένα από τα πέντε αξιώματα
της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι το ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ
τους. Ο Γκέντελ προσπάθησε να «αποδείξει» την ύπαρξη του Θεού ως ένα θεώρημα
ξεκινώντας από ένα σύνολο πέντε αξιωμάτων που φαίνονται «προφανή» στο πλαίσιο
της Μαθηματικής Λογικής.
Η «απόδειξη» αυτή φάνηκε εξαρχής ότι είχε δύο αδύνατα
σημεία. Πρώτον, είναι άραγε τα αξιώματα όντως προφανή και, δεύτερον, είναι
άραγε συμβατά μεταξύ τους ώστε να μην έχουν κρυφές ασυνέπειες; Για το πρώτο δεν
μπορούμε να κάνουμε και πολλά πράγματα, αφού τα αξιώματα στα Μαθηματικά μπορεί
να φαίνονται «λογικά» αλλά κατά τα άλλα είναι αυθαίρετα, οπότε ο Θεός υπάρχει αν
τα αξιώματα αυτά αληθεύουν. Το δεύτερο
όμως αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας για πάνω από 40 χρόνια επειδή έπρεπε να
αποδειχθεί ότι τα πέντε αυτά αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και άρα
είναι αυτοσυνεπή.
Το κατόρθωμα των δύο
ευρωπαίων μαθηματικών, του Γερμανού Κρίστοφ Μπεντζμίλερ (Christoph Benzmüller)
και του Αυστριακού Μπρούνο Βολτσενλόγκελ Παλέο (Bruno Woltzenlogel Paleo), ήταν
ότι κατάφεραν να αναπαραστήσουν τα αξιώματα του Γκέντελ και τους συλλογισμούς
του με μαθηματικά σύμβολα. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια εξειδικευμένου
λογισμικού που χειρίζεται έννοιες λογικής σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, μπόρεσαν
αφενός μεν να διαπιστώσουν ότι τα αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και
αφετέρου να επιβεβαιώσουν την απόδειξη του θεωρήματος.
τα όρια της λογικής και της παραφροσύνης
Το θεώρημα του Godel έχει
χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει ότι ένας υπολογιστής δεν μπορεί ποτέ να γίνει
τόσο έξυπνος όσο ένας άνθρωπος επειδή η έκταση της γνώσης του πρώτου
περιορίζεται από ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων, ενώ οι άνθρωποι μπορούν να
ανακαλύψουν τα απροσδόκητες αλήθειες… Παίζει ρόλο στις σύγχρονες γλωσσικές
θεωρίες, οι οποίες υπογραμμίζουν τη δύναμη της γλώσσας να βρίσκει νέους τρόπους
να εκφραστούν οι ιδέες.
Ένα άλλο παραπλήσιο πόρισμα του θεωρήματος είναι πως δεν μπορούμε
ποτέ να είμαστε βέβαιοι πως δεν έχουμε παραφρονήσει. Ο παράφρων ερμηνεύει τον
κόσμο μέσω της (παραδόξως) συνεπούς λογικής του. Πώς μπορούμε να
αποφανθούμε εάν η λογική μας είναι παράδοξη ή όχι, δεδομένου ότι έχουμε μόνο τη
λογική μας για να το κρίνουμε; Αναφέρω εδώ και το δεύτερο θεώρημα Godel, το
οποίο καταδεικνύει ότι τα μόνα αριθμητικά τυπικά συστήματα που είναι ασυνεπή
είναι αυτά που βεβαιώνουν τη συνέπειά τους.
Ο Κουρτ Γκέντελ γεννήθηκε στις 28 Απριλίου 1906 στο
Μπρνο, (σύνορα Αυστρο-Ουγγαρίας) της σημερινής Τσεχίας, την πόλη που Γερμανοί
και Αυστριακοί ονομάζουν μέχρι σήμερα Brünn. Oι γονείς του, Ρούντολφ και
Μαριάνε, είχαν Γερμανοεβραϊκή καταγωγή. Ο Γκέντελ έπασχε από έλκος του
δωδεκαδακτύλου και ακολουθούσε, με δική του πρωτοβουλία, μια πολύ αυστηρή
δίαιτα. Σιγά-σιγά άρχισε να πιστεύει ότι τον δηλητηριάζουν και κατέληξε να
αρνείται να φάει το φαγητό του. Το αποτέλεσμα αυτής της κατάστασης, θα έλεγε
κανείς, αποτέλεσε το κορυφαίο λογικό παράδοξο υλοποιημένο - και όχι διατυπωμένο
- από τον θεμελιωτή της Μαθηματικής Λογικής. Αν δεν έτρωγε, ήταν σίγουρο ότι ο Γκέντελ θα πέθαινε από ασιτία. Αν
έτρωγε ίσως να πέθαινε από δηλητηρίαση - αλλά και ίσως όχι. Ο Γκέντελ, πέρα από
κάθε λογική, διάλεξε ενσυνείδητα την πρώτη επιλογή - και πέθανε από ασιτία.
ο Γκέντελ ήταν κάπως φιλάσθενος και καχεκτικός, συχνά αγνοούσε τους γιατρούς
του εξαιτίας της παράλογης δυσπιστίας του απέναντι τους, προκαλώντας προβλήματα
στην εύθραυστη υγεία του. Μια ακόμα από τις παράλογες ιδέες που κυριάρχησαν τα
τελευταία χρόνια της ζωής του ήταν ότι κάποιοι προσπαθούσαν να τον σκοτώσουν
δηλητηριάζοντας το φαγητό του. Έτσι, έτρωγε μόνο το φαγητό που μαγείρευε η
γυναίκα του και όταν αυτή δεν μπορούσε να μαγειρεύει πια για τον Γκέντελ ,
εξαιτίας μιας ασθένειας, αυτός σταμάτησε να τρώει οποιαδήποτε τροφή. Το
αποτέλεσμα ήταν να πεθάνει το 1978 σε ηλικία 72 χρόνων από ασιτία και
εξάντληση, ενώ ζύγιζε περίπου 30 κιλά! Είναι
εκπληκτικό ότι, εκτός από τις στιγμές
κρίσης, τα ψυχικά προβλήματα του Gödel πολύ λίγο εμπόδισαν την εργασία του. Το πρόσωπο που τον στήριξε ήταν η Adele
Porkert, την οποία είχε γνωρίσει σε ένα καμπαρέ κατά τα φοιτητικά του χρόνια. Η
Porkert ήταν έξι χρόνια μεγαλύτερη από τον Gödel, χωρισμένη, καθολική, με
πρόσωπο παραμορφωμένο από ένα εκ γενετής σημάδι, εργαζόταν δε ως χορεύτρια.
Οι γονείς του τη θεώρησαν σκανδαλώδη. Οι
δυο τους όμως ήταν αφοσιωμένοι ο ένας στον άλλον.
Χρήστος Καπούτσης Μαθηματικός
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου